高中数学导数总结
05 May 2020 |
duanyll | Tags:
文化课
定义和几何意义
- 定义 \(f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
- 几何意义: 切线斜率.
- 割线斜率: $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$
- 放缩: 证明恒成立可以证明恒大于(小于)交点处切线
公切线问题
求 $f(x), g(x)$ 的公切线.
- 设 $f(x), g(x)$ 上切点 $x_1,x_2$
- 两点处的切线方程 \(y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)\\ y=g'(x_2)(x-x_2)+g(x_2)\)
- 两切线应当重合, 得到方程组 \(\begin{cases} f'(x_1)=g'(x_2)\\ f(x_1)-x_1f'(x_1)=g'(x_2)-x_2g'(x_2) \end{cases}\)
- 视情况讨论.
两曲线距离
- 都有凹凸性, 截线垂直于 x 轴: 两函数做差后求最小值
- 都有凹凸性, 截线垂直于 y 轴: 先求反函数, 再做差求最小值
- 直线到曲线距离最小: 导数等于直线斜率
- 都有凹凸性, 距离最小: 不好直接求, 观察是否有对称关系
三次函数
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\]对称中心: $N(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$, $f’(x)$ $\Delta>0$ 有两个极值点, $\Delta \leq 0$ 没有极值点.
切线条数问题
B 点是对称中心.
- 一区三区(不含边界): 可作 3 条切线
- 曲线与直线上(不含 B 点): 可做 2 条切线
- 二区四区和 B 点: 可做 1 条切线
双变量问题
尝试用主元法消除一个变量.
$\exist x_1,x_2\in D, f(x_1)>g(x_2)$ 类型的表述, 可转化为与区间内最值有关的恒成立问题.
拉格朗日中值定理
一定存在切线斜率等于割线斜率.
双变量按 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ 给出, 考虑几何意义.
极值点偏移
- 确定极值点 $x_0$.
- 证明 $f(x)$ 在极值点一侧单调性
- 证明 $g(x)=f(x)-f(2x_0-x)$ 恒大于(小于) 0.
最好分离参数, 使得需要讨论极值点偏移问题的是具体函数.
对数均值不等式: (证明用主元法)
\[\frac{a+b}{2}>\frac{a-b}{\ln a-\ln b}>\sqrt{ab}\]其他
- $\ln$ 项导数运算时尽量避免出现乘除法 (换元, 参变分离, 另设函数)
- 计算面积视情况用简洁的公式.